4.5 PROBLEMAS DE HILBERT

4.5. PROBLEMAS DE HILBERT

David hilbert Matematico aleman nacio el 23 de enero de 1982 en koïngsberg rusia y murio el 14 de febrero de 1943

El 8 de Agosto de 1900, en París, un profesor de la Universidad de Göttingen dio una conferencia que capturaría la imaginación de los matemáticos del siglo XX. El profesor era David Hilbert y su plática se tituló simplemente “Problemas Matemáticos”.

Hilbert presentó diez de los problemas (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 Y 22) en la conferencia, La lista completa se publicó más adelante.

Fue así que propuso una lista de 23 problemas, no como un reto, sino como un incentivo para los matemáticos del nuevo siglo. Esta lista es conocida como “Los Problemas de Hilbert” y consta de problemas importantes en Teoría de Números, Álgebra, Geometría, Análisis, Teoría de Conjuntos y Fundamentos Axiomáticos.

En este momento, de los 23 problemas, 16 se consideran básicamente resueltos, 4 son más programas de trabajo que problemas concretos, y 3 permanecen sin resolver problemas 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17 , 19 Y 20 tienen una solución aceptada por consenso.

Por otro lado, los problemas 1, 2, 5, 9, 15, 18, 21 Y 22 tienen soluciones de aceptación parcial, pero existe cierta controversia al respecto de si la solución resuelve realmente el problema.

1er
La hipótesis del continuo (esto es, no existe conjunto cuyo tamaño esté estrictamente entre el de los enteros y el de los números reales)

Se ha probado la imposibilidad de probarlo como cierto o falso mediante los axiomas de Zermelo-Fraenkel. No hay consenso al respecto de considerar esto como solución al problema.1

2º
Probar que los axiomas de la aritmética son consistentes (esto es, que la aritmética es un sistema formal que no supone una contradicción).

Parcialmente resuelto: hay quienes sostienen que se ha demostrado imposible de establecer en un sistema consistente, finitista y axiomáticos Sin embargo, Gentzen probó en 1936 que la consistencia de la aritmética se deriva del buen fundamento del ordinal, un hecho sujeto a la intuición combinatoria.

3er
Dados dos poliedros de igual volumen, ¿es siempre posible cortar el primero en una cantidad finita de piezas poliédricas que puedan ser ensambladas de modo que quede armado el segundo? Resuelto. Resultado: no, probado usando invariantes de Dehn

4º
Construir todas las métricas cuyas rectas sean geodésicas.
Demasiado vago para decidir si se ha resuelto o no.

5º
¿Son los grupos continuos grupos diferenciales de forma automática?
Resuelto por Andrew Gleason (1952)

6º
Axiomatizar toda la física
* La mecánica clásica: Hamel (1903).
* La termodinámica: Carathéodory (1909).
* La relatividad especial: Robb (1914) y Caratheodory (1924) independientemente.
* La teoría de probabilidades: Kolmogórov (1930).
* La teoría cuántica de campos: Wightman a finales de los años 1950.

7º
¿Es a b trascendental, siendo a ≠ 0,1 algebraico y birracional algebraico?
Resuelto. Resultado: sí, ilustrado por el teorema de Gelfond o el teorema de Gelfond-Schneider

8º
La hipótesis de Riemann (la parte real de cualquier cero no trivial de la función zeta de Riemann es ½) y la conjetura de Goldbach (cada número par mayor que 2 se puede escribir como la suma de dos números primos).
Abierto.4

9º
Encontrar la ley más general del teorema de reciprocidad en cualquier cuerpo numérico algebraico
Parcialmente resueltos

10º
Encontrar un algoritmo que determine si una ecuación diofántica polinómica dada con coeficientes enteros tiene solución entera. Resuelto. Resultado: no, el teorema de Matiyasevich (1970) implica que no existe tal algoritmo.

11º
Resolver las formas cuadráticas con coeficientes numéricos algebraicos. Parcialmente resuelto:
* Sobre los números racionales: Hasse (1923-1924).
* Sobre los números enteros: Siegel en los años 1930

12º
Extender el teorema de Kronecker sobre extensiones abelianas de los números racionales a cualquier cuerpo numérico de base.
Abierto

13º
Resolver todas las ecuaciones de 7º grado usando funciones de dos parámetros.
Resuelto negativamente por Vladímir Arnold y Andréi Kolmogórov en 1957.

14º
Probar la finitud de ciertos sistemas completos de funciones.
Resultado: no, en general, debido a un contra ejemplo, Nagata(1962).

15º
Fundamento riguroso del cálculo enumerativo de Schubert.
Parcialmente resuelto, Van der Waerden a finales de los años 1930.

16º
Topología de las curvas y superficies algebraicas. Abierto

17º
Expresión de una función definida racional como cociente de sumas de cuadrados
Resuelto. Resultado: se estableció un límite superior para el número de términos cuadrados necesarios, Pfister (1967). La solución negativa en general se debe a Du Bois (1967).

18º
¿Existe un poliedro irregular y que construya otros poliedros? ¿Cual es el apilamiento compacto más denso?
Resuelto6

19º
¿Son siempre analíticas las soluciones de losLagrangianos?
Resuelto por Bernstein (1904). Resultado: sí

20º
¿Tienen solución todos los problemas variacionalescon ciertas condiciones de contorno?
Resuelto. Ha supuesto un área importante de investigación durante el siglo XX, culminando con las soluciones al caso no lineal.

21er
Probar la existencia de ecuaciones lineales diferenciales que tengan un grupo monodrómico prescrito
Resuelto. Resultado: sí o no, dependiendo de una formulación más exacta del problema. Según Gray resuelto de forma negativa por Anosov y Bolibruch(1994).

22º
Uniformización de las relaciones analíticas por medio de funciones automórficas
Resuelto por Koebe (1907) y Poincaré independientemente (1907).

23er
Extensión de los métodos del cálculo de variaciones
Resuelto
INTEGRANTES:
CODALLOS MOGOLLON MARTHA ANGELICA
RUIZ SALAS JUANA
MARTINEZ MAR FILIBERTO

Bibliografía;
[1] Arnold, V.I. et. al. Mathematics: Frontiers and Perspectives. IMU and AMS (2000).
[2] Hilbert, David. “Mathematical Problems”. Bulletin AMS 8 (1902), 437-479.
[3] Reid, Constance. Hilbert. Springer-Verlag (1970).
[4] Smale, S. “Mathematical Problems for the Next Century”. Mathematical Intelligencer.
20:2 (1998), 7-15.
[5] Yandell, B. H. The Honors Class. A. K. Peters, Ltd. (2002).